ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 7

กำหนดให้ $A = [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix}], I = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ และ B เป็นเมทริกซ์ใดๆ มีมิติ 2 $\times$ 2
ให้ x เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ $d e t (A^{2} + x I) = 0$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) $d e t (A + x I) = 0$
(ข) $d e t (A^{2} + x I - B) = d e t (B^{t})$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ d e t (A^{2} + x I) = 0 \to 1 ต้องหาค่าของ A^{2} + x I A^{2} + x I = [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix}] + x [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} x & 0 \\ 0 & x \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 + x & 0 \\ 0 & 1 + x \end{matrix}]$

$จาก 1 d e t (A^{2} + x I) = 0; แทนค่า A^{2} + x I จะได้ |\begin{matrix} 1 + x & 0 \\ 0 & 1 + x \end{matrix}| = 0 {(x + 1)}^{2} = 0 ดังนั้น x = - 1$

$(ก) จากโจทย์ d e t (A + x I) = 0 \to 2 ต้องหาค่าของ A + x I A + x I = [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix}] + (- 1) [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{matrix}]$

$จาก 2 d e t (A + x I) = 0; แทนค่า A + x I |\begin{matrix} 0 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{matrix}| = 0 (0) (- 2) - (0) (- 2) = 0 0 = 0 ข้อ (ก) ถูก$

$(ข) จาก A^{2} + x I = [\begin{matrix} 1 + x & 0 \\ 0 & 1 + x \end{matrix}]; แทน x = - 1 A^{2} + x I = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = 0$

$จากโจทย์ d e t (A^{2} + x I - B) = d e t (B^{t}) - แทนค่า A^{2} + x I = 0 จะได้ d e t (0 - B) = d e t B d e t (- B) = d e t B {(- 1)}^{2} \det B = d e t B d e t B = d e t B ข้อ (ข) ถูก$