ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 8

กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงมีสมการเป็น $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ เมื่อ a, b $>$ 0 และให้ $C_{1}$ และ $C_{2}$ เป็นวงกลมสองวงที่ต่างกัน

โดยที่มีรัศมีเท่ากันและวงกลมทั้งสองวงต่างสัมผัสกับเส้นตรง L ที่จุดเดียวกัน ถ้าวงกลม $C_{1}$ มีจุดศูนย์กลางที่จุด(0, 0) แล้วสมการของวงกลม $C_{2}$ คือข้อใดต่อไปนี้

1
${(a^{2} + b^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2}) - 4 a b (a^{2} + b^{2}) (b x + a y) + 3 a^{2} b^{2} = 0$
2
$(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 4 a b (b x + a y) + 3 a^{2} b^{2} = 0$
3
${(a^{2} + b^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2}) - 4 a b (a^{2} + b^{2}) (b x + a y) + 5 a^{2} b^{2} = 0$
4
$(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 4 a b (b x + a y) + 5 a^{2} b^{2} = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ สมการเส้นตรง L คือ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 คูณ a b ทั้ง 2 ข้าง; (a b) \frac{x}{a} + (a b) \frac{y}{b} = (a b) 1 b x + a y - a b = 0 วาดรูปเส้นตรง L แทน x = 0 จะได้ y = b ได้จุด (0, b) แทน y = 0 จะได้ x = a ได้จุด (a, 0) เนื่องจาก a, b > 0 จะวาดได้ ดังรูป$

$ตามข้อมูล C_{1} และ C_{2} ที่โจทย์ให้ จะวาดได้ดังรูป$

$r = ระยะจากจุด (0, 0) ไปยังเส้นตรง L (b x + a y - a b = 0) สูตร ระยะจากจุด (x_{1}, y_{1}) ไปยังเส้นตรง A x + B y + C = 0 คือ \frac{|A x_{1} + B y_{1} + c|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} จะได้ r = \frac{|A x_{1} + B y_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

$แทน A = b, B = a, C = - a b, x_{1} = 0, y_{1} = 0 r = \frac{|b (0) + a (0) - a b|}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} r = \frac{|0 + 0 - a b|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} เนื่องจาก a, b > 0 ถอดค่าสัมบูรณ์ได้ + a b ดังนั้น r = \frac{a b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

$เนื่องจาก △ E O D และ △ A B O มีมุมภายในทั้ง 3 มุมเท่ากัน คู่ต่อคู่ (ด - ด - ด) นั่นคือ △ E O D ~ △ A B O (เป็นสามเหลี่ยมคล้าย) ดังนั้น \frac{E O}{A B} = \frac{O D}{B O} = \frac{D E}{O A} \to 1$

$จากรูป กำหนดให้ O A = a, O B = b และ A B = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$จะได้ E O = 2 r = \frac{2 a b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} จาก 1 O D = \frac{E O}{A B} \times B O = \frac{\frac{2 a b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cdot b = \frac{2 a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \to ค่า h จาก 1 D E = \frac{E O}{A B} \times O A = \frac{\frac{2 a b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cdot a = \frac{2 a^{2} b}{a^{2} + b^{2}} \to ค่า k$
$ดังนั้น วงกลม C_{2} มีจุดศูนย์กลาง (h, k) = (\frac{2 a b^{2}}{a^{2} + b^{2}}, \frac{2 a^{2} b}{a^{2} + b^{2}}) และ r = \frac{a b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

$สมการวงกลม คือ {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2} แทนค่า h, k, r จะได้ {(x - \frac{2 a b^{2}}{a^{2} + b^{2}})}^{2} + {(y - \frac{2 a^{2} b}{a^{2} + b^{2}})}^{2} = {(\frac{a b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})}^{2} x^{2} - \frac{4 a b^{2} x}{a^{2} + b^{2}} + \frac{4 a^{2} b^{4}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} + y^{2} - \frac{4 a^{2} b y}{a^{2} + b^{2}} + \frac{4 a^{4} b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} x^{2} + y^{2} - \frac{4 a b^{2} x}{a^{2} + b^{2}} - \frac{4 a^{2} b y}{a^{2} + b^{2}} + \frac{4 a^{2} b^{4}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} + \frac{4 a^{4} b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$

$x^{2} + y^{2} - \frac{4 a b (b x + a y)}{a^{2} + b^{2}} + \frac{4 a^{2} b^{2} (b^{2} + a^{2})}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} x^{2} + y^{2} - \frac{4 a b (b x + a y)}{a^{2} + b^{2}} + \frac{4 a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} x^{2} + y^{2} - \frac{4 a b (b x + a y)}{a^{2} + b^{2}} + \frac{3 a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = 0 คูณตลอดด้วย a^{2} + b^{2}$

$ดังนั้น (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 4 a b (b x + a y) + 3 a^{2} b^{2} = 0$

ข้อถัดไป