ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 11

ถ้าจุด $(a, b)$ เป็นจุดบนเส้นตรง $2 y - x + 6 = 0$ ที่อยู่ใกล้จุด $(3, 1)$ มากที่สุด วงกลมที่มีจุด $(a, b)$ เป็นจุดศูนย์กลางและสัมผัสแกน $x$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y + 16 = 0$
2
$x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y + 1 = 0$
3
$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 16 = 0$
4
$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$เส้นตรง จากโจทย์ (a, b) เป็นจุดบนเส้นตรง 2 y - x + 6 = 0 ที่อยู่ใกล้จุด (3, 1) มากที่สุด จะได้ 2 b - a + 6 = 0 \to 1 กำหนดให้ L_{1}, L_{2} = เป็นสมการเส้นตรง - วาดรูปเส้นตรง L_{1}, L_{2}$

$เส้นตรง L_{1} : 2 y - x + 6 = 0 \to - x + 2 y + 6 = 0 จากสูตร m = - \frac{A}{B} m_{1} = - \frac{(- 1)}{2} = \frac{1}{2} จากรูป L_{1} ⊥ L_{2} (ตั้งฉากกัน) จะได้ m_{1} \cdot m_{2} = - 1 \frac{1}{2} m_{2} = - 1 จากรูป เส้นตรง L_{2} ผ่านจุด (3, 1) และ (a, b)$

$จากสูตร m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} m_{2} = \frac{b - 1}{a - 3} - 2 = \frac{b - 1}{a - 3} - 2 (a - 3) = b - 1 - 2 a + 6 = b - 1 b + 2 a - 7 = 0 \to 1 จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ a = 4, b = - 1 \to จุด (a, b) = (4, - 1)$

$วงกลม จากโจทย์ วงกลมที่มีจุด (a, b) เป็นจุดศูนย์กลาง และสัมผัสแกน x จะได้ (h, k) = (a, b) = (4, - 1) วงกลมสัมผัสแกน x จะได้ r = 1 จากสูตร {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2} {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1^{2} (x^{2} - 8 x + 16) + (y^{2} + 2 y + 1) = 1 x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y + 16 = 0$