ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{วงรี}} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em}\mathrm{วงรีรูปหนึ่ง} \mathrm{ผ่านจุด} \left(8,0\right) \mathrm{มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่} \left(4,-1\right) \\ \mathrm{และโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่} \left(1,-1\right) \\ -\mathrm{นำมาวาดรูปวงรี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \mathrm{c}=3 \mathrm{หน่วย} \\ \mathrm{จากสูตร} {\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2 \\ 3^2={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2 \\ {\mathrm{a}}^2={\mathrm{b}}^2+9 \\ \mathrm{จากสูตร} \mathrm{สมการวงรี} \mathrm{มีแกนเอกขนานแกน} \mathrm{x} \\ \frac{{\left(\mathrm{x}-\mathrm{h}\right)}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\left(\mathrm{y}-\mathrm{k}\right)}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1 \\ \frac{{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\left(\mathrm{y}+1\right)}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{โดยวงรีผ่านจุด} \left(8,0\right) \\ \mathrm{จะได้} \frac{{\left(8-4\right)}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\left(0+1\right)}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1 ; \mathrm{โดย} {\mathrm{a}}^2={\mathrm{b}}^2+9 \\ \frac{16}{{\mathrm{b}}^2+9}+\frac{1}{{\mathrm{b}}^2}=1 \\ 16{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{b}}^2+9=\left({\mathrm{b}}^2+9\right){\mathrm{b}}^2 \\ {\mathrm{b}}^4-8{\mathrm{b}}^2-9=0 \\ \left({\mathrm{b}}^2-9\right)\left({\mathrm{b}}^2+1\right)=0 ; {\mathrm{b}}^2+1>0 \mathrm{เสมอ}\to \mathrm{ตัดทิ้งได้} \\ {\mathrm{b}}^2-9=0 \\ \mathrm{b}=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{จุดปลายแกนโทของวงรี}=\left(\mathrm{h},\mathrm{k}\pm \mathrm{b}\right) \\ =\left(4,-1\pm 3\right) \\ =\left(4,2\right) , \left(4,-4 \right) \\ \underline{\mathrm{พาราโบลา}} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em}\mathrm{พาราโบลามีโฟกัสที่จุดปลายของแกนโทของวงรีใน} Q_1 \\ \mathrm{และมีเส้นไดเรกตริกซ์ทับกับแกนเอกของวงรี} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{แกนสมมาตรขนานแกน} \mathrm{y} \\ \mathrm{นำมาวาดรูปพาราโบลา} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \mathrm{จุดยอดพาราโบลาอยู่ที่จุดกึ่งกลางระหว่างจุด} \mathrm{F} \mathrm{และ} \mathrm{A} \\ \left(\mathrm{h},\mathrm{k}\right)=(\frac{4+4}{2},\frac{2+\left(-1\right)}{2}) \\ \left(\mathrm{h},\mathrm{k}\right)=(4,\frac{1}{2}) \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{c}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{สมการพาราโบลา} \left(\mathrm{แกนสมมาตรขนานแกน} \mathrm{y}\right) \\ {\left(\mathrm{x}-\mathrm{h}\right)}^2=4\mathrm{c}\left(\mathrm{y}-\mathrm{k}\right) \\ \mathrm{จะได้} {\left(\mathrm{x}-4\right)}^2=4\left(\frac{3}{2}\right)(\mathrm{y}-\frac{1}{2}) \\ {\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+16=6\mathrm{y}-3 \\ {\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}-6\mathrm{y}+19=0 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{สมการพาราโบลา} \mathrm{คือ} {\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}-6\mathrm{y}+19=0 \end{gathered}$$