ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

$$\begin{gathered} \mathrm{นิยาม} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)+3{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+3{\mathrm{xy}}^2 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{h}\right)3{\mathrm{x}}^2\mathrm{h}+3{\mathrm{xh}}^2\right]-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}} \\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left(\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{h}\right)+3{\mathrm{x}}^2\mathrm{h}+3{\mathrm{xh}}^2}{\mathrm{h}}\right) \\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left(\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{h}\right)}{\mathrm{h}}+\frac{3{\mathrm{x}}^2\mathrm{h}}{\mathrm{h}}+\frac{3{\mathrm{xh}}^2}{\mathrm{h}}\right) \\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{h}\right)}{\mathrm{h}}+\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left(3x^2\right)+\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left(3\mathrm{xh}\right)\to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}=2 \\ \mathrm{จะได้} \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}=2 \mathrm{เช่นกัน} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{h}\right)}{\mathrm{h}}+\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left(3{\mathrm{x}}^2\right)+\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left(3\mathrm{xh}\right) \\ \mathrm{จะได้} =2+3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}\left(0\right) \\ =2+3{\mathrm{x}}^2 \\ \mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=6\mathrm{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{f}\text{'}\left(1\right)+\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(5\right)=\left[2+3{\left(1\right)}^2\right]+\left[6\left(5\right)\right] \\ =5+30 \\ =35 \end{gathered}$$