ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

$$\begin{gathered} \mathrm{พิจารณาสมการ} \\ \left|\sqrt{{\mathrm{x}}^2}-\mathrm{x}\right|+\left|3-\mathrm{x}-\left|\mathrm{x}-3\right|\right| = 0 \\ \mathrm{จะได้} \left|\left|\mathrm{x}\right|-\mathrm{x}\right|+\left|3-\mathrm{x}-\left|\mathrm{x}-3\right|\right| = 0 \\ \mathrm{สมการจะเป็นจริงเมื่อ} \\ \left|\left|\mathrm{x}\right|-\mathrm{x}\right| = 0 \mathrm{และ} \left|3-\mathrm{x}-\left|\mathrm{x}-3\right|\right| = 0 \\ \left|\mathrm{x}\right|-\mathrm{x} = 0 3-\mathrm{x}-\left|\mathrm{x}-3\right| = 0 \\ \left|\mathrm{x}\right|=\mathrm{x} \left|\mathrm{x}-3\right| = 3-\mathrm{x} \\ \left|\mathrm{x}-3\right| = -(\mathrm{x}-3) \\ \mathrm{จากนิยาม} \left|a\right| = a \mathrm{เมื่อ} a \ge 0 \\ \left|a\right| = -a \mathrm{เมื่อ} a\le 0 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{จากเดิม} \left|\mathrm{x}\right|= \mathrm{x} \mathrm{และ} \left|\mathrm{x}-3\right| = -(\mathrm{x}-3) \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{x} \ge 0 \mathrm{และ} \mathrm{x}-3 \le 0 \\ \mathrm{x} \le 3 \\ \mathrm{จะได้เซตคำตอบคือ} \mathrm{x}= [0,\infty ]\cap (\infty ,3] =[0,3] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{พาราโบลาผ่านจุดปลายของ} 2x+3y-6 = 0 \\ \mathrm{และเส้นตรงนี้มี่ค่า} \mathrm{x} \mathrm{ที่สอดคล้องกับสมการนี้} \\ \left|\sqrt{{\mathrm{x}}^2}-\mathrm{x}\right|+\left|3-\mathrm{x}-\left|\mathrm{x}-3\right|\right| = 0 \\ \mathrm{x} = [0,3] \\ \mathrm{จะได้ว่า} \mathrm{จุดปลายคือ} x=0 , x=3 \\ \mathrm{แทนค่า} \mathrm{x} \mathrm{ในสมการเส้นตรง} 2x+3y-6=0 \\ \mathrm{แทน} x=0 ; 2\left(0\right)+3y-6 = 0 \\ y = 2 \to \mathrm{จุด} \left(0,2\right) \\ \mathrm{แทน} x=3 ; 2\left(3\right)+3y-6 = 0 \\ y = 0 \to \mathrm{จุด} \left(3,0\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาพาราโบลา} \\ \mathrm{มีแกนสมมาตรทับกับแกน} y, \mathrm{ผ่านจุด} \left(0,2\right) \mathrm{และ} \left(3,0\right) \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{จุดยอด} \mathrm{คือ} \left(0,2\right) \to \left(h,k\right) = \left(0,2\right) \\ \mathrm{จากสูตร} \mathrm{พาราโบลา} {\left(x-h\right)}^2 = 4c\left(y-k\right) \\ \mathrm{โดยแกนสมมาตรทับกับแกน} y \\ \mathrm{แทน} \left(h,k\right) = \left(0,2\right) \\ \mathrm{จะได้} {\left(x-0\right)}^2 = 4c\left(y-2\right) ; \mathrm{แทนจุด} \left(3,0\right) \\ {\left(3-0\right)}^2 = 4c\left(0-2\right) \\ 9 = 4c\left(-2\right) \\ 4c = -\frac{9}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ความยาวลาตัสเรกตัมของพาราโบลา} = \left|4c\right| \\ \hspace{0.17em}= \left|-\frac{9}{2}\right| \\ = \frac{9}{2} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตอบ} 3) \frac{9}{2} \end{gathered}$$​