ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} g\text{'}\left(x\right) = 4x^3+9x^2+2 \\ \mathrm{จะได้} g\left(x\right) = \int \left(4x^3+9x^2+2\right)dx \\ = \frac{4x^4}{4}+\frac{9x^3}{3}+2x+c \\ \mathrm{ดังนั้น} g\left(x\right) = x^4+3x^3+2x+c \to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} g\left(x\right) = xf\left(x\right) \\ \mathrm{แทน} x=0 \mathrm{จะได้} g\left(0\right) = 0f\left(0\right) \\ g\left(0\right) = 0 \\ \mathrm{จะได้} \\ {0}^4+3{\left(0\right)}^3+2\left(0\right)+c = 0 \\ c = 0 ; \mathrm{แทนใน} \boxed{1} \\ \mathrm{จะได้} g\left(x\right) = x^4+3x^3+2x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} g\left(x\right) = xf\left(x\right) \\ f\left(x\right) = \frac{g\left(x\right)}{x} \\ = \frac{x^4+3x^3+2x}{x} \\ \mathrm{ดังนั้น} f\left(x\right) = x^3+3x^2+2 \\ \mathrm{จะได้} f\text{'}\left(x\right) = 3x^2+6x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{หาจุดวิกฤตโดย} f\text{'}\left(x\right) = 0 \\ 3x^2+6x = 0 \\ 3x\left(x+2\right) = 0 \\ x = 0, -2 \mathrm{เป็นจุดวิกฤต} \\ f \mathrm{เป็นฟังก์ชั่นเพิ่มเมื่อ} f\text{'}\left(x\right)>0 \\ 3x\left(x+2\right) >0 \\ x > 0 ,-2 \\ x = \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,\infty \right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากแผนภาพ} \mathrm{ค่าสูงสุดสัมพันธ์} \mathrm{ที่} x=-2 \\ \mathrm{ค่าต่ำสุดสัมพันธ์} \mathrm{ที่} x=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาข้อ}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ก}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{พิจารณา} \mathrm{ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ} f \mathrm{เท่ากับ} 6 \mathrm{ใช่หรือไม่} \\ \mathrm{เมื่อ} f \mathrm{จะมีค่าสูงสุดสัมพันธ์ที่} x=-2 \\ \mathrm{จะได้} f\left(-2\right) = {\left(-2\right)}^3+3{\left(-2\right)}^2+2 \\ = 6 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ก\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาข้อ}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ข}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{พิจารณา} \mathrm{ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ} f \mathrm{เท่ากับ} 2 \mathrm{ใช่หรือไม่} \\ \mathrm{เมื่อ} f \mathrm{จะมีค่าต่ำสุดสัมพันธ์ที่} x=0 \\ \mathrm{จะได้} f\left(0\right) = {\left(0\right)}^3+3{\left(0\right)}^2+2 \\ = 2 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ข\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาข้อ}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ค}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{พิจารณา} \mathrm{อัตราการเปลี่ยนแปลงของ} \left(f+g\right)\left(x\right) \\ \mathrm{เทียบกับ} x \mathrm{ขณะที่} x=1 \mathrm{เท่ากับ} 12 \mathrm{ใช่หรือไม่} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{หาค่า} \left(f+g\right)\text{'}\left(x\right) \\ \left(f+g\right)\left(x\right) = f\left(x\right)+g\left(x\right) \\ = \left(x^3+3x^2+2\right)+\left(x^4+3x^3+2x\right) \\ = x^4+4x^3+3x^2+2x+2 \\ \mathrm{จะได้} \left(f+g\right)\text{'}\left(x\right) = 4x^3+12x^2+6x+2 \\ \mathrm{แทน} x=1 \left(f+g\right)\text{'}\left(1\right) = 4{\left(1\right)}^3+12{\left(1\right)}^2+6\left(1\right)+2 \\ = 24 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ค\right) \mathrm{ผิด} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตอบ} 1) \mathrm{ข้อ} (\mathrm{ก}) \mathrm{และ} \mathrm{ข้อ} (\mathrm{ข}) \mathrm{ถูก} \mathrm{แต่} \mathrm{ข้อ} (\mathrm{ค}) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$