ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 33

กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $|z| = |z - 1 + i|$ และ $R e (\frac{(1 - 2 i) z}{3 - i}) = 0$ เมื่อ $i^{2} = - 1$ แล้วค่าของ ${|2 z + 1|}^{2}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ |z| = |z - 1 + i| กำหนดให้ z = a + b i จะได้ |a + b i| = |(a + b i) - 1 + i| |a + b i| = |(a - 1) + (b + 1) i| \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}} a^{2} + b^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2} a^{2} + b^{2} = a^{2} - 2 a + 1 + b^{2} + 2 b + 1 2 a - 2 b = 2 a - b = 1 \to 1$

$จากโจทย์ R e (\frac{(1 - 2 i) z}{3 - i}) = 0 หาค่า \frac{(1 - 2 i) z}{3 - i} จะได้ \frac{(1 - 2 i) z}{3 - i} = \frac{(1 - 2 i) z}{3 - i} \cdot (\frac{3 + i}{3 + i}) = \frac{(1 - 2 i) (3 + i) z}{3^{2} + 1^{2}} = \frac{[3 + i - 6 i - 2 (- 1)] z}{10}$

$โดย z = a + b i = \frac{(5 - 5 i) (a + b i)}{10} = \frac{(1 - i) (a + b i)}{2} = \frac{a + b i - a i + b}{2} = \frac{(a + b) + (b - a) i}{2}$

$จากโจทย์ R e (\frac{(1 - 2 i) z}{3 - i}) = 0 จะได้ \frac{a + b}{2} = 0 a + b = 0 \to 2 จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร 1 + 2; 2 a = 1 จะได้ a = \frac{1}{2} และ b = - \frac{1}{2} แสดงว่า z = a + b i z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

$ดังนั้น ค่าของ {|2 z + 1|}^{2} = {|2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i) + 1|}^{2} = {|2 - i|}^{2} = {(\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}})}^{2} = 4 + 1 = 5 ค่าของ {|2 z + 1|}^{2} = 5$