ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 5

กำหนดให้ $A B C$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม $C$ เป็นมุมแหลม ถ้า $a, b$ และ $c$ เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม $A$ มุม $B$ และมุม $C$ ตามลำดับ โดยที่ $a^{4} + b^{4} + c^{4} = 2 (a^{2} + b^{2}) c^{2}$ แล้วมุม $C$ สอดคล้องกับสมการในข้อใดต่อไปนี้

1
$\sin 2 C = \cos C$
2
$2 \tan C = \cos e c^{2} C$
3
$s e c C + 2 \cos C = 4$
4
$4 \cos e c^{2} C - \cos^{2} C = 1$
5
$\tan^{2} C + 2 \cos (2 C) = 2$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a^{4} + b^{4} + c^{4} = 2 (a^{2} + b^{2}) c^{2} จะได้ (a^{4} + b^{4}) - 2 (a^{2} + b^{2}) c^{2} + c^{4} = 0 + 2 a^{2} b^{2} ทั้ง 2 ข้างสมการ (a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4}) - 2 (a^{2} + b^{2}) c^{2} + c^{4} = 2 a^{2} b^{2} {(a^{2} + b^{2})}^{2} - 2 (a^{2} + b^{2}) c^{2} + c^{4} = 2 a^{2} b^{2} {[(a^{2} + b^{2}) - c^{2}]}^{2} = 2 a^{2} b^{2} a^{2} + b^{2} - c^{2} = \pm \sqrt{2} a b$

$จากโจทย์ A B C เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เป็นมุมแหลม วาดรูปสามเหลี่ยม A B C$

$จากสูตร กฎของไซน์ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C จะได้ \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} โดย a^{2} + b^{2} - c^{2} = \pm \sqrt{2} a b ดังนั้น \cos C = \frac{\pm \sqrt{2} a b}{2 a b} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} ดังนั้น มุม C = 45 °, 135 ° เนื่องจาก C เป็นมุมแหลม ดังนั้น C = 45 °$

$ลองแทนค่า มุม C = 45 ° ใน ตัวเลือก 2) จะได้ 2 \tan C = \cos e c^{2} C 2 \tan 45 ° = \cos e c^{2} 45 ° 2 (1) = \frac{1}{\sin^{2} 45 °} 2 = {(\sqrt{2})}^{2} 2 = 2 ดังนั้น ตอบ 2) 2 t a n C = c o s e c^{2} C$