ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} \\ \mathrm{จะได้} \overline{\mathrm{z}}=\mathrm{a}-\mathrm{bi} \\ \mathrm{จากโจทย์} \overline{\mathrm{z}}-1-4\mathrm{i}=3\mathrm{i}(\mathrm{z}-\mathrm{i}) \\ \mathrm{แทนค่า} \mathrm{z} , \overline{\mathrm{z}} \\ \mathrm{จะได้} \left(\mathrm{a}-\mathrm{bi}\right)-1-4\mathrm{i}=3\mathrm{i}\left(\mathrm{a}-\mathrm{bi}-\mathrm{i}\right) \\ \left(\mathrm{a}-1\right)-\left(\mathrm{b}+4\right)\mathrm{i}=3\mathrm{ai}-3\mathrm{b}-3{\mathrm{i}}^2 \\ \left(\mathrm{a}-1\right)-\left(\mathrm{b}+4\right)\mathrm{i}=3\mathrm{ai}-3\mathrm{b}+3 \\ \left(\mathrm{a}-1\right)-\left(\mathrm{b}+4\right)\mathrm{i}=\left(3-3\mathrm{b}\right)+3\mathrm{ai} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{เทียบ} \mathrm{สปส}. \mathrm{ส่วนจริง} \left(\mathrm{Re}\right) \mathrm{จะได้} \mathrm{a}-1=3-3\mathrm{b}\to \boxed{1} \\ \mathrm{เทียบ} \mathrm{สปส}. \mathrm{ส่วนจินตภาพ} \left(\mathrm{Im}\right) \mathrm{จะได้} -\left(\mathrm{b}+4\right)=3\mathrm{a} \\ 3\mathrm{a}+\mathrm{b}+4=0 \\ 3\mathrm{a}+\mathrm{b}=-4\to \boxed{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{1} , \boxed{2} \mathrm{แก้} 2 \mathrm{สมการ} 2 \mathrm{ตัวแปร} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{a}=-2 , \mathrm{b}=2 \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{z}=-2+2\mathrm{i} \mathrm{และ} \overline{\mathrm{z}}=-2-2\mathrm{i} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{พิจารณา} \mathrm{ตัวเลือก} \left(1\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{z}+\overline{\mathrm{z}}=\mathrm{i}\left(\mathrm{z}-\overline{\mathrm{z}}\right) \\ \mathrm{จะได้} \left(-2+2\mathrm{i}\right)+\left(-2-2\mathrm{i}\right)=\mathrm{i}\left[\left(-2+2\mathrm{i}\right)-\left(-2-2\mathrm{i}\right)\right] \\ -4=\mathrm{i}\left(4\mathrm{i}\right) \\ -4=-4 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตัวเลือก} \left(1\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{พิจารณา} \mathrm{ตัวเลือก} \left(2\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \left|\mathrm{z}+2\right|=2 \\ \mathrm{จะได้} \left|\left(-2+2\mathrm{i}\right)+2\right|=2 \\ \left|2\mathrm{i}\right|=2 ; \\ \mathrm{โดย} \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} \mathrm{จะได้} \left|\mathrm{z}\right|=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2} \\ \mathrm{จะได้} \sqrt{2^2}=2 \\ 2=2 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตัวเลือก} \left(2\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{พิจารณา} \mathrm{ตัวเลือก} \left(3\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} {\overline{\mathrm{z}}}^2-8\mathrm{i}=0 \\ \mathrm{จะได้} \left(-2-2\mathrm{i}\right)\left(-2-2\mathrm{i}\right)-8\mathrm{i}=0 \\ 4+8\mathrm{i}+4\left(-1\right)-8\mathrm{i}=0 \\ 8\mathrm{i}-8\mathrm{i}=0 \\ 0=0 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตัวเลือก} \left(3\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{พิจารณา} \mathrm{ตัวเลือก} \left(4\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{z}{\left(1-\mathrm{i}\right)}^3-8\mathrm{i}=0 \\ \mathrm{จะได้} \left(-2+2\mathrm{i}\right){\left(1-\mathrm{i}\right)}^3-8\mathrm{i}=0\to \boxed{3} \\ \mathrm{โดยที่} {\left(1-\mathrm{i}\right)}^3=\left(1-\mathrm{i}\right)\left(1-\mathrm{i}\right)\left(1-\mathrm{i}\right) \\ =\left[1-2\mathrm{i}+\left(-1\right)\right]\left(1-\mathrm{i}\right) \\ =-2\mathrm{i}\left(1-\mathrm{i}\right) \\ =-2\mathrm{i}+2\left(-1\right) \\ =-2-2\mathrm{i} ; \mathrm{แทนใน} \boxed{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \left(-2+2\mathrm{i}\right)\left(-2-2\mathrm{i}\right)-8\mathrm{i}=0 \\ 4+4\mathrm{i}-4\mathrm{i}-4\left(-1\right)-8\mathrm{i}=0 \\ 8-8\mathrm{i}=0 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตัวเลือก} \left(4\right) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$