ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 27

 พิจารณาข้อความต่อไปนี้

        (ก)  ถ้า A=00ab000c0 เมื่อ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกที่ abc=1  และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณ มิติ 3×3 แล้ว detA2+A+1=0

        (ข)  ให้ A=a1a2a3b1b2b3c1c2c3  และ B=a1+2b1-3c1a2+2b2-3c2a3+2b3-3c32b12b22b33c13c23c3  เมื่อ a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3   เป็นจำนวนจริง ถ้า detA=3 แล้ว detB=-18 

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

พิจารณา จากโจทย์  A=00ab000c0     ; โดย abc=1จะได้         A2=00ab000c000ab000c0                      =0ac000abbc00
จะได้  A2+A+I=0ac000abbc00+00ab000c0+100b10001                           =1acab1abbcc1

จะได้  detA2+A+I=1+a2b2c2+abc-abc+abc+abc                                   =1+abc2+abc-3abc                                   =1+12+1-31                                   =3-3                                   =0ดังนั้น  ข้อ  ถูก

พิจารณา จากโจทย์   A=a1a2a3b1b2b3c1c2c3 จะได้ว่า  เมทริกซ์  B  เกิดจากการกระทำกับเมทริกซ์  A  ดังนี้

1 นำ 2 คูณ R2 ของเมทริกซ์ Aจะได้          2R2=a1a2a32b12b22b3c1c2c3 12 จาก 1 นำ 3 คูณ R3 ของเมทริกซ์ Aจะได้          3R3=a1a2a32b12b22b33c13c23c3 2

3 จาก 2 นำ R1+2R2-3R3 ของเมทริกซ์ Aจะได้  B=a1+2b1-3c1a2+2b2-3c2a3+2b3-3c32b12b22b33c13c23c3แสดงว่า  B  เกิดจากการกระทำกับ  A ดังนี้ 1 2R2   2 3R3   3 R1+2R2-3R3

จากสมบัติ det จะได้ว่า -1 , 2 ทำให้ det B เพิ่มเป็น 2 เท่า และ 3 เท่าตามลำดับ-แต่ 3 เกิดจากการบวกลบ  ด้วยแถวหรือหลักใดๆ ด้วยแถวหรือหลักอื่นๆ ภายในเมทริกซ์ Aดังนั้น       จะไม่มีผลต่อค่า det

จะได้     det B=23det A      ; โดย det A=3                       =233                       =18ดังนั้น  ข้อ  ผิด

ปิด
ทดลองเรียน