ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\frac{\mathrm{x}·\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-333}{\mathrm{x}-3}=2013\to \boxed{1} \\ \mathrm{แทน} \mathrm{x}=3 \\ \mathrm{จะได้} \underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\frac{\mathrm{x}·\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-333}{\mathrm{x}-3}=\frac{3·\mathrm{f}\left(3\right)-333}{3-3} \\ \mathrm{โดย} \mathrm{f}\left(3\right)=111 \\ =\frac{3\left(111\right)-333}{3-3}=\frac{0}{0} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ใช้วิธีโลปิตาล} \\ \mathrm{จะได้} \underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\frac{\mathrm{x}·\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-333}{\mathrm{x}-3}=\underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[\mathrm{x}·\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-333\right]}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}-3\right)}} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\frac{{\displaystyle \mathrm{x}·\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)·\left(1\right)}}{{\displaystyle 1}} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\left[\mathrm{x}·\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right] \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{แทน} \mathrm{x}=3 \\ \mathrm{จะได้} \underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\frac{\mathrm{x}·\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-333}{\mathrm{x}-3}=3·\mathrm{f}\text{'}\left(3\right)+\mathrm{f}\left(3\right) ; \mathrm{โดย} \mathrm{f}\left(3\right)=111 \\ =3·\mathrm{f}\text{'}\left(3\right)+111 \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} 3·\mathrm{f}\text{'}\left(3\right)+111=2013 \\ \mathrm{f}\text{'}\left(3\right)=\frac{1902}{3} \\ \mathrm{f}\text{'}\left(3\right)=634 \\ \mathrm{อัตราการเปลี่ยนแปลงของ} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{เทียบกับ} \mathrm{x} \mathrm{ที่} \mathrm{x}=3 \mathrm{เท่ากับ} 634 \end{gathered}$$