ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 7

กำหนดให้ $A = [\begin{matrix} 1 & a \\ b & 4 \end{matrix}], I = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงที่ $a b \neq 0$ และเมทริกซ์ $A$ สอดคล้องกับ

สมการ $2 (A - I)^{- 1} = 4 I - A$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $a b = 2$

(ข) $d e t (3 A^{2} A^{t} A^{- 1}) = 324$

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สมบัติเมทริกซ์ที่ต้องใช้ กำหนดให้ A, B เป็นเมทริกซ์ใดๆ มิติ n \times n 1) \det (kA) = k^{n} \det (A) เมื่อ k คือค่าคงที่ 2) \det (A^{t}) = \det (A) 3) \det (A^{t}) = \frac{1}{\det (A)} 4) \det (AB) = \det (A) \cdot \det (B)$

$จากโจทย์ เมทริกซ์ A สอดคล้องกับสมการ 2 {(A - I)}^{- 1} = 4 I - A \to 1 โดย A - I = [\begin{matrix} 1 - 1 & a - 0 \\ b - 0 & 4 - 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & a \\ b & 3 \end{matrix}] จากสูตร ถ้า A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$
$จะได้ A^{- 1} = \frac{1}{ad - bc} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] จะได้ {(A - I)}^{- 1} = \frac{1}{- ab} [\begin{matrix} 3 & - a \\ - b & 0 \end{matrix}] แทนใน 1 โดย 4 I - A = [\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 1 & a \\ b & 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 & - a \\ - b & 0 \end{matrix}] แทนใน 1$

$จาก 1 2 {(A - I)}^{- 1} = 4 I - A จะได้ 2 (\frac{1}{- ab} [\begin{matrix} 3 & - a \\ - b & 0 \end{matrix}]) = [\begin{matrix} 3 & - a \\ - b & 0 \end{matrix}] \frac{2}{- ab} = 1 ab = - 2$

$พิจารณา (ก) จากโจทย์ ab = 2 ดังนั้น ข้อ (ก) ผิด พิจารณา (ข) จากโจทย์ A = [\begin{matrix} 1 & a \\ b & 4 \end{matrix}] จะได้ \det A = 4 - ab; โดย ab = - 2 = 4 - (- 2) = 6 จากโจทย์ \det (3 A^{2} A^{t} A^{- 1}) = 324$

$หาค่า d e t (3 A^{2} A^{t} A^{- 1}) \det (3 A^{2} A^{t} A^{- 1}) = 3^{2} \det {(A)}^{2} \det (A^{t}) \det A^{- 1} = 9 {(\det A)}^{2} \det A \frac{1}{\det A} = 9 {(6)}^{2} = 324 ดังนั้น ข้อ (ข) ถูก$