ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 10

พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆ ในระนาบ ถ้าผลบวกของระยะทางจากจุด P(x, y) ไปยังจุด (0, –2) และระยะทางจากจุด P(x, y) ไปยังจุด (2, –2) เท่ากับ $2 \sqrt{5}$ แล้วเซตของจุด P(x, y) คือ $\{(x, y) | 4 x^{2} + 5 y^{2} - 8 x + 20 y - 12 = 0\}$

(ข) จุด (1, 1) เป็นจุดบนพาราโบลา $y = x^{2}$ อยู่ใกล้กับเส้นตรง $y = 2 x - 4$ มากที่สุด
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$(ก) นิยามของวงรี |P F + P F'| = 2 a (เมื่อ P คือ จุดใดๆ และ F คือ จุดโฟกัส)$

$จากโจทย์ ถ้าผลบวกของระยะจากจุด P (x, y) ไปยังจุด (0, - 2) และระยะจากจุด P (x, y) ไปยังจุด (2, - 2) เท่ากับ 2 \sqrt{5} จะได้ จุด (0, - 2) และ (2, - 2) เป็นจุดโฟกัส เรียงตามแนวนอน มีแกนเอก (2 a) = 2 \sqrt{5} \to a = \sqrt{5}$

$จากโจทย์ 4 x^{2} + 5 y^{2} - 8 x + 20 y - 12 = 0 - ลองมาเชคค่า a จากกราฟนี้ จัดรูป 4 (x^{2} - 2 x + 1) + 5 (y^{2} + 4 y + 4) = 12 + 4 + 20 4 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 2)}^{2} = 36 หารด้วย 36 ทั้ง 2 ข้าง; จะได้ \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{\frac{36}{5}} = 1$

$สูตรสมการวงรี \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 จะได้ a^{2} = 9 \to a = 3 ดังนั้น ขัดแย้งกับค่า a เริ่มต้น ข้อ (ก) ผิด$

$(ข) ลองวาดรูปคร่าวๆ$

$จุดบนพาราโบลา ที่ใกล้เส้นตรงมากที่สุด คือจุด A (1, 1) มีสมบัติว่า ความชันเส้นสัมผัสของพาราโบลา y = x^{2} ณ จุด A เท่ากับ ความชันเส้นตรง y = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x^{2}_{x = 1} = 2 {2 x}_{x = 1} = 2 2 (1) = 2 ข้อ (ข) ถูก$