ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

$$\begin{gathered} \left(ก\right) \mathrm{นิยามของวงรี} \left|PF+PF\text{'}\right|=2a \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(\mathrm{เมื่อ} P \mathrm{คือ} \mathrm{จุดใดๆ} \mathrm{และ} F \mathrm{คือ} \mathrm{จุดโฟกัส}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ถ้าผลบวกของระยะจากจุด} P(x, y) \mathrm{ไปยังจุด} (0, –2) \\ \mathrm{และระยะจากจุด} P(x, y) \mathrm{ไปยังจุด} (2, –2) \mathrm{เท่ากับ} 2\sqrt{5} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{จุด}\left(0,-2\right) \mathrm{และ} \left(2,-2\right) \mathrm{เป็นจุดโฟกัส} \mathrm{เรียงตามแนวนอน} \\ \mathrm{มีแกนเอก} \left(2a\right)=2\sqrt{5}\to a=\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} 4x^2+5y^2-8x+20y-12=0 \\ -\mathrm{ลองมาเชคค่า} a \mathrm{จากกราฟนี้} \\ \mathrm{จัดรูป} 4\left(x^2-2x+1\right)+5\left(y^2+4y+4\right)=12+4+20 \\ 4{\left(x-1\right)}^2+5{\left(y+2\right)}^2=36 \\ \mathrm{หารด้วย} 36 \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} ; \\ \mathrm{จะได้} \frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$36$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$5$}\right.}}=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{สูตรสมการวงรี} \frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1 \\ \mathrm{จะได้} a^2=9\to a=3 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ขัดแย้งกับค่า} a \mathrm{เริ่มต้น} \mathrm{ข้อ} \left(ก\right) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$​

$\left(ข\right) \mathrm{ลองวาดรูปคร่าวๆ}$

$$\begin{gathered} \mathrm{จุดบนพาราโบลา} \mathrm{ที่ใกล้เส้นตรงมากที่สุด} \mathrm{คือจุด} A\left(1,1\right) \\ \mathrm{มีสมบัติว่า} \mathrm{ความชันเส้นสัมผัสของพาราโบลา} y=x^2 ณ \mathrm{จุด} A \\ \mathbf{เท่ากับ}\mathbf{ }\mathrm{ความชันเส้นตรง} y=2x-4 \\ \frac{d}{dx}{x}^2{\overline{)}}_{x=1}=2 \\ {\overline{)2x}}_{x=1}=2 \\ 2\left(1\right)=2 \mathrm{ข้อ} \left(ข\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$