ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 9

กำหนดให้ไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีสมการเป็น $x^{2} - y^{2} - 2 x = 0$ ถ้าพาราโบลามีโฟกัสเป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดตัดของเส้นตรง $y = 2 x$ กับเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา และมีเส้นไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา แล้วสมการของพาราโบลาคือข้อใดต่อไปนี้

1
$9 x^{2} + 12 x + 12 y - 3 = 0$
2
$9 x^{2} + 12 x + 12 y + 8 = 0$
3
$9 x^{2} + 6 x - 12 y - 3 = 0$
4
$9 x^{2} + 6 x + 12 y + 5 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ สมการไฮเปอร์โบลา คือ x^{2} - y^{2} - 2 x = 0 จัดรูป (x^{2} - 2 x + 1) - y^{2} = 1 {(x - 1)}^{2} - y^{2} = 1 \frac{{(x - 1)}^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{1} = 1 จะได้ a = 1, b = 1$

$สมการเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา คือ y - k = \pm \frac{a}{b} (x - h) แทน a = 1, b = 1 y - 0 = \pm \frac{1}{1} (x - 1) y = \pm (x - 1)$

$- หาจุดตัด y = 2 x กับ เส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา y = \pm (x - 1) แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร หาค่า x, y จะได้ y = y และ y = y 2 x = x - 1 2 x = - (x - 1) x = - 1 \to y = - 2 x = \frac{1}{3} \to y = \frac{2}{3}$

$ดังนั้น จุดตัด คือ (- 1, - 2), (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) - จุดกึ่งกลางของจุดตัด คือ (\frac{- 1 + \frac{1}{3}}{2}, \frac{- 2 + \frac{2}{3}}{2}) = (- \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}) \to จุดโฟกัสของพาราโบลา - จุดยอดของไฮเปอร์โบลา (แนวนอน ขนานแกน x) คือ (h \pm a, k) = (1 \pm 1, 0) = (2, 0), (0, 0)$

$จากโจทย์ เส้นไดเรกตริกซ์ ผ่านจุดยอดทั้งสองของไฮเปอร์โบลา - นำจุดยอด และ โฟกัสของพาราโบลา มาวาดกราฟ ดังรูป$

$จากรูป - 2 c = \frac{2}{3} (เป็นลบ เพราะพาราโบลาคว่ำ) c = - \frac{1}{3} หาจุดยอดของพาราโบลา = (- \frac{1}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{1}{3}) (h, k) = (- \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}) = (- \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

$สมการพาราโบลา คือ {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k) {(x + \frac{1}{3})}^{2} = 4 (- \frac{1}{3}) (y + \frac{1}{3}) x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = - \frac{4 y}{3} - \frac{4}{9}; คูณ 9 ทั้ง 2 ข้าง 9 x^{2} + 6 x + 1 = - 12 y - 4 ดังนั้น 9 x^{2} + 6 x + 12 y + 5 = 0$