ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 13

ให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $z_{1} = a + b i$ และ $z_{2} = c + d i$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน

โดยที่ $a, b, c, d \in R - \{0\}$ และ $i = \sqrt{- 1}$

สมมติว่า มีจำนวนจริง $t$ และ $s$ ที่ว่า $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = t$ และ $z_{1} - z_{2} = s$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $|z_{1}| = |z_{2}|$

(ข) $I m (z_{1} z_{2}) = 0$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$กำหนดให้ z_{1} = a + bi, z_{2} = c + di จะได้ z_{1}^{2} = {(a + bi)}^{2} = a^{2} + 2 abi + {(bi)}^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 abi z_{2}^{2} = {(c + di)}^{2} = c^{2} + 2 cdi + {(di)}^{2} = (c^{2} - d^{2}) + 2 cdi$

$จากโจทย์ z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = t จะได้ [(a^{2} - b^{2}) + 2 abi] + [(c^{2} - d^{2}) + 2 cdi] = t (a^{2} - b^{2} + c^{2} + d^{2}) + (2 ab + 2 cd) = t + 0 i พิจารณาส่วน Im 2 ab + 2 cd = 0; หาร 2 ตลอด ab + cd = 0 \to 1$

$จากโจทย์ z_{1} - z_{2} = s (a + bi) - (c + di) = s (a - c) + (b - d) i = s + 0 i พิจารณาส่วน Im b - d = 0 b = d \to 2 แทนค่า b = d ใน 1 จะได้ a (d) + c (d) = 0 d [a + c] = 0; หาร d ตลอด a + c = 0 a = - c$

$พิจารณาข้อ (ก) จากโจทย์ |z_{1}| = |z_{2}| หาค่า |z_{1}| จะได้ |z_{1}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}; แทน a = - c, b = d = \sqrt{c^{2} + d^{2}} = |z_{2}| พิจารณาข้อ (ข) จากโจทย์ Im (z_{1} z_{2}) = 0 หาค่า z_{1} z_{2}$
$จะได้ z_{1} z_{2} = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + {bdi}^{2} = (ac - bd) + (ad + bc) i พิจารณา Im ad + bc = (- c) d + d (c); แทน a = - c, b = d ad + cb = 0 แสดงว่า Im (z_{1} z_{2}) = 0 ดังนั้น ข้อ (ข) ถูก$