ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 43

ให้ $A$ เป็นเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ $4^{x} - 4 (4^{\sqrt{x}}) = 3 (2^{x + \sqrt{x}})$ ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $A$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 4^{x} - 4 (4^{\sqrt{x}}) = 3 (2^{x + \sqrt{x}}) เปลี่ยนฐาน 4 ให้อยู่ในรูปฐาน 2 จะได้ {(2^{2})}^{x} - 4 {(2^{2})}^{\sqrt{x}} = 3 (2^{x}) (2^{\sqrt{x}}) {(2^{x})}^{2} - 4 {(2^{\sqrt{x}})}^{2} = 3 (2^{x}) (2^{\sqrt{x}}) \to 1$

$กำหนดให้ 2^{x} = a, 2^{\sqrt{x}} = b โดย {(2^{\sqrt{x}})}^{2} \neq 2^{x} จึงห้ามใช้ตัวแปรเดียวกัน จาก 1 จะได้ a^{2} - 4 b^{2} = 3 a b a^{2} - 3 a b - 4 b^{2} = 0 (a - 4 b) (a + b) = 0$
$จะได้ a - 4 b = 0 หรือ a + b = 0 a = 4 b แทน a = 2^{x}, b = 2^{\sqrt{x}} 2^{x} = 4 (2^{\sqrt{x}}) หรือ 2^{x} + 2^{\sqrt{x}} = 0 2^{x} = 2^{2} (2^{\sqrt{x}}) เป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก a^{x} > 0 เสมอ 2^{x} = 2^{2 + \sqrt{x}}$

$ดังนั้น x = 2 + \sqrt{x} \to 2 x - 2 = \sqrt{x} {(x - 2)}^{2} = {(\sqrt{x})}^{2} x^{2} - 4 x + 4 = x x^{2} - 5 x + 4 = 0 (x - 4) (x - 1) = 0 x = 4, 1$

$ตรวจคำตอบ โดยแทนค่า x ลงใน 2 แทน x = 4 4 = 2 + \sqrt{4} 4 = 2 + 2 4 = 4 แสดงว่า x = 4 เป็นคำตอบของสมการ แทน x = 1 1 = 2 + \sqrt{1} 1 = 2 + 1 1 \neq 3 แสดงว่า x = 1 เป็นไปไม่ได้$

$จากโจทย์ A เป็นเซตของจำนวนจริง x ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ จะได้ A = \{4\} ดังนั้น ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เท่ากับ 4$